Bentuk Umum
an xn +
an – 1 xn – 1 + an – 2 xn
– 2 + … + … a2x2 + a1x + a0
keterangan :
n = derajat suku banyak
a0 = konstanta
an, an – 1, an – 2, … = koefisien
dari xn, xn – 1, xn – 2, …
Pembagian
Suku Banyak
Bentuk Umum
F(x) =
P(x).H(x) + S(x)
dimana :
F(x) =
suku banyak
P(x) =
pembagi
H(x) =
hasil bagi
S(x) =
sisa
Teorema
Sisa
Jika
suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k)
Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n – 1
Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n
Metode
Pembagian Suku Banyak
contoh :
F(x) = 2x3 –
3x2 + x + 5 dibagi
dengan P(x) = 2x2 – x
– 1
Sehingga
hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x + 4
cara ini
dapat digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat
difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1
Cara:
·
Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn,
xn – 1, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka
koefisiennya ditulis 0)
Contoh: untuk 4x3 –
1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2,
x, dan konstanta)
·
Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya
harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
·
Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2,
P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2,
P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
dan
seterusnya
Untuk
soal di atas,
P(x) = 2x2 –
x – 1 = (2x + 1)(x – 1)
P1: 2x + 1 = 0 → x = –½
P2: x – 1 = 0 → x = 1
H(x) =
1.x – 1 = x – 1
S(x) = P1.S2 + S1 = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x
+ 4
3.
Koefisien Tak Tentu
F(x) =
P(x).H(x) + S(x)
Untuk
soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
H(x)
berderajat 3 – 2 = 1
S(x)
berderajat 2 – 1 = 1
Jadi,
misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d
Maka:
2x3 – 3x2 + x + 5 = (2x2 – x – 1).(ax + b) + (cx + d)
Ruas
kanan:
= 2ax3 +
2bx2 – ax2 – bx – ax – b + cx + d
= 2ax3 +
(2b – a)x2 + (–b – a +
c)x + (–b + d)
Samakan
koefisien ruas kiri dan ruas kanan:
x3 → 2 =
2a → a = 2/2 = 1
x2 → –3 =
2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1
x → 1 =
–b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1
Konstanta
→ 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4
Jadi:
H(x) = ax
+ b = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = cx
+ d = 1.x + 4 = x + 4
Teorema
Faktor
Suatu
suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi
dengan (x – k) adalah 0)
Catatan:
jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)
Tips
1. Untuk
mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan
mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor
koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya :untuk x3 – 2x2 – x + 2 = 0, faktor-faktor
konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga,
angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2untuk 4x3 – 2x2 – x + 2 = 0, faktor-faktor
konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4.
Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4
2.
Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu
akarnya adalah x = 1.
3.
Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku
di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = –1
Perhatikan
contoh berikut :
Tentukan penyelesaian dari x3 – 2x2 – x + 2 = 0?
Jawab :
Faktor-faktor
dari konstantanya, yaitu 2, adalah ±1 dan ±2 dan faktor-faktor koefisien
pangkat tertingginya, yaitu 1, adalah ±1, sehingga angka-angka yang perlu
dicoba: ±1 dan ±2
Karena
jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x
= 1 adalah salah satu faktornya, jadi:
Jadi x3 –
2x2 – x + 2 = (x –
1)(x2 – x – 2)
= (x –
1)(x – 2)(x + 1)
x =
1 x = 2 x = –1
Sifat Akar-Akar Suku Banyak
Pada
persamaan berderajat 3:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar
x1, x2, x3
dengan
sifat-sifat:
·
Jumlah 1 akar: x1 +
x2 + x3 = – b/a
·
Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
·
Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a
Pada persamaan
berderajat 4:
dengan
sifat-sifat:
·
Jumlah 1 akar: x1 +
x2 + x3 + x4 = – b/a
·
Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
·
Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a
·
Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a
Dari
kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan
berderajat 5 dan seterusnya
cr: rumus-matematika.com
( Materi dikerjakan oleh: Caroline Olivia Siahaan )
0 komentar:
Posting Komentar